Задача 1.
Геометрия Гобсека
В распоряжении юного инженера-исследователя есть неограниченное количество золотых монет радиусов R1 и R2. Первоначально на столе лежат какие-то две монеты, касаясь друг друга. Можно выкладывать монеты так, чтобы очередная касалась каких-то двух, уже лежащих на столе. Центры выложенных монет при этом образуют некоторую геометрическую конфигурацию. Какие конфигурации можно сконструировать в рамках данных правил? Какие невозможно сконструировать?
Задача 2.
Согласованные числа
Множество из N натуральных чисел называется согласованным, если произведение любых N–1 из них в сумме с единицей делится на оставшееся число. Найти все согласованные множества чисел.
Задача 3.
Перколяция
В прямоугольной решетке NxK клетки равновероятно покрашены в белый и черный цвет. Какова вероятность того, что шахматный король сможет пройти по черным клеткам от верхнего до нижнего края решетки?
Задача 4.
Размен
Докажите, что с помощью шестирублевых, десятирублевых и пятнадцатирублевых монет можно разменять любую достаточно большую натуральную сумму рублей. Какую наибольшую сумму разменять не получится?
Задача 5.
Задачка для 4 класса
В магазине на полке игрушки по цене: 15, 16, 18, 19, 20 и 31.
Боб купил три игрушки, Алиса - две, причем Боб заплатил за покупку вдвое больше, чем Алиса.
Что купил Боб, а что Алиса?
Полный лист задач можно скачать из прилагаемого файла.
